Question

一道有难度的三角函数数学题

已知向量a=（2,sinx）,向量b=（sinx平方，2cosx）.函数f（x）=a*b
若在△ABC中角ABC所对的边分别是a,b,c 且满足(√2a-c)cosB=bcosC，求f（A)取值范围

Answer 1

(√2a-c)cosB=bcosC
√2acosB=bcosC+ccosB (1)
过A作BC的高AH交于H
不难得出a=BH+CH=ccosB+bcosC
代入(1)式，得√2acosB=a
cosB=√2/2
∴B=45°
f(x)=a*b=2(sinx)^2+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1
=√2sin(2x-45°)+1
f(A)=√2sin(2A-45°)+1
∵B=45°
∴A+C=135°
∴0<A<135°
∴-45°<2A-45°<225°
∴sin(2A-45°)∈[-√2/2,1]
∴f（A)取值范围为[0, √2+1]

Answer 2

解答：由(√2a-c)cosB=bcosC
结合正弦定理可得 (√2SinA-SinC)cosB=SinBcosC
又因为A+B+C=180,所以SinA=Sin（B+C）代入上式，
得(√2Sin（B+C）-SinC)cosB=SinBcosC,移项得，
√2Sin（B+C）CosB=SinBcosC+SinCcosB，
又因为SinBcosC+SinCcosB=Sin（B+C），
所以CosB=√2/2，即B=45度

（上面的向量b中的平方说的是X还是Sin？此处表意不清）

Answer 3

a*b=2sinx^2+2sinxcosx
=(1-cos2x)+sin2x
=1+√2sin(2x-π/4)

a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
(√2a-c)cosB=bcosC
(√2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
√2sinAcosB=sin(B+C)
√2cosB=1
cosB=√2/2
B=π/4
0<A<3π/4
0<f(A)<1+√2

Answer 4

(√2a-c)cosB=bcosC,用正弦定理，（√2 sinA-sinC)cosB=sinBcosC
∴√2 sinAcosB=sin（B+C）=sinA ∴cosB=√2/2 所以B=45°

∴0＜A＜135° f（A) =2sinx平方+2cosxsinx=1-cos2A+sin2A=1+√2sin(2A-45°）
-45°＜2A-45°＜225°
∴ 0 ＜ f（A) ＜√2+1