Question

设三阶矩阵A的特征值为-1，1，2，求|A*|以及|A^2-2A+E|

Answer 1

答案为2、4、0。

解题过程如下：

1. A的行列式等于A的全部特征值之积

所以 |A| = -1*1*2 = -2

2. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则 |A|/a 是A*的特征值

所以A*的特征值为 2,-2,-1

所以|A*| = 2*(-2)*(-1) = 4.

注: 当然也可用伴随矩阵的行列式性质 |A*| = |A|^(n-1) = |A|^2 = (-2)^2 = 4.

3. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则对多项式g(x), g(a)是g(A)的特征值

这里 g(x) = x^2-2x+1, g(A)=A^2-2A+E

所以 g(A)=A^2-2A+E 的特征值为 g(-1),g(1),g(2), 即 4,0,1

所以 |A^2-2A+E| = 4*0*1 = 0

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量。

扩展资料

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是

（其中是不全为零的任意实数）．

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等。

Answer 2

|A*|等于4。|A^2-2A+E|等于0。

解：因为矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=2，那么|A|=λ1*λ2*λ3=-1*1*2=-2。

又根据|A*| =|A|^(n-1)，可求得 |A*|= |A|^2 = (-2)^2 = 4。

同时根据矩阵特征值性质可求得A^2-2A+E的特征值为η1、η2、η3。

则η1=(λ1)^2-2λ1+1=4，η1=(λ2)^2-2λ2+1=0，η3=(λ3)^2-2λ3+1=1，

则|A^2-2A+E|=η1*η2*η3=4*0*1=0

即|A*|等于4。|A^2-2A+E|等于0。

扩展资料：

矩阵特征值性质

1、n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)，则|A=|=λ1*λ2*…*λn。

2、若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

3、若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

4、设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

Answer 3

此题考查特征值的性质
用常用性质解此题:

1. A的行列式等于A的全部特征值之积
所以 |A| = -1*1*2 = -2

2. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则 |A|/a 是A*的特征值
所以A*的特征值为 2,-2,-1
所以|A*| = 2*(-2)*(-1) = 4.
注: 当然也可用伴随矩阵的行列式性质 |A*| = |A|^(n-1) = |A|^2 = (-2)^2 = 4.

3. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则对多项式g(x), g(a)是g(A)的特征值
这里 g(x) = x^2-2x+1, g(A)=A^2-2A+E
所以 g(A)=A^2-2A+E 的特征值为 g(-1),g(1),g(2), 即 4,0,1
所以 |A^2-2A+E| = 4*0*1 = 0

Answer 4

(A*)A=|A|E
同取行列式
|(A*)A|=||A|E|
|(A*)|*|A|=||A|E|=|A|^3
|A*|=|A|^2=（-1*1*2）^2=4
|A^2-2A+E|=|(A-E)^2|=|A-E|^2
A-E的特征值是：-2,0,1
所以|A-E|=0
|A^2-2A+E|=0

追问

请问 |(A*)|*|A|=||A|E|=|A|^3
和 A-E的特征值是：-2,0,1
所以|A-E|=0
这两步能讲详细些吗？