Question

1.证明方程e^x=3x至少存在一个小于1的正根.

Answer 1

证明过程如下：

e^x=3x

f(x)=e^x-3x

令x=0，f(0)=e^0-0=1>0

令x=1，f(1)=e-3<0

f(0)*f(1)<0

所以存在0<x0即e^x=3x至少有一个小于1的正根

应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）：

① 解一元二次方程，判断根的情况。

② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。

④ 应用根的判别式判断三角形的形状。

⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。

⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点。

Answer 2

令f(x)=e^x-3x
f'(x)=e^x-3，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，说明f(x)单减
f(0)=1,f(1)=e-3<0
故方程e^x=3x至少存在一个小于1的正根，且只有一个小于1的根

Answer 3

设f(x)=e^x-3x，在R上是连续函数
f(1)=e-3<0
f(0)=1>0
所以在(0,1)上存在实数A，使得f(A)=0
即e^A=3A

Answer 4

画图比较简单明了