Question

设n阶矩阵A满足A^2=A.E为n阶单位矩阵。求证R（A）+R（A'-E）<=n

Answer 1

由于A`-E的秩等于它转置A-E的秩，且我们有西尔维斯特不等式：R(AB)>=R(A)+R(B)-n 其中A，B都是n阶方阵 令B=A-E 得 R（A）+R（A'-E）=R（A）+R（A-E）《n+R（A(A-E)）=n+R(0(n*n))=n

Answer 2

对于这个问题而言Sylvester不等式甚至是取等号的。
事实上利用初等变换
R(A) + R(A-E)
= R [A 0; 0 A-E]
= R [A 0; A A-E]
= R [A -A; A -E]
= R [A-A^2 -A; 0 -E]
= R [0 0; 0 E] = n