Question

函数单调性问题

已知f(x)在（-1,1）上有定义，对任意x∈[0,1]都有f(x)>0且满足x,y∈(-1,1)有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1-xy)]
证明：f(x)在（-1,1）上为增函数

Answer 1

令x=0，y=0，得到f(0)+f(0)=f[(0+0)/1],所以f(0)=0.再证明奇偶性：令y=-x,f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1+x*x)]=f(0)=0,所以f(x)=f(-x).函数为奇函数。最后证明单调性：令x1>x2,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f[(x1-x2)/(1+x1*x2)] 因为x1>x2,s所以x1-x2>0 又因为x1,x2∈(-1,1),所以1+x1*x2>0 所以(x1-x2)/(1+x1*x2)>0 由题意可知f[(x1-x2)/(1+x1*x2)]>0 即f(x1)-f(x2)>0 所以是单调增函数

Answer 2

首先由f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1-xy)]得
f(0)+f(x)=f(x)
f（0）=0
任意x,y∈(-1,1)
可以得到1-xy必然>0
f[(x+y)/(1-xy)]的自变量(x+y)/(1-xy)正负由X+y决定
然后任意x与-x代入
可以得到在对称定义域(-1,1） f(x)+f(-x)=f(0)=0
得到这是奇函数

最后
对任意x1>-x2
X1+X2>0
(x1+X2)/(1-x1·)〉0 上面证了
则f（x1）+f（x2）=f（(x1+X2)/(1-x1·)）〉0 如题
f(X1)>-f(x2)
由于奇函数
f(x1)>f(-x2)对任意X1>-X2属于定义域
故 单调增