Question

一道数学作业题，求解答。越快越好。要有过程。

已知椭圆x²／a²+y²/b²=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两断点B1，B2的连线分别与X轴交于P，Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|*|OQ|为定值。

Answer 1

设M点的坐标为x=acosθ,y=bsinθ,B1（0,b）,B2(0,-b), M,B1,P与M,B2，Q三点共线，得
[（bsinθ-b）/acosθ]=b/(-m)及[（bsinθ+b）/acosθ]=-b/(-n),于是
[（bsinθ-b）/acosθ][（bsinθ+b）/acosθ]=b/(-m)×b/n，得(b²sin²θ-b²)/(a²cos²θ)=b²/(-mn)
因此|OP|×|OQ|=|mn|=a²

Answer 2

是的,

Answer 3

M(acosα,bsinα)
B1(0,b),B2(0,-b)
L1:y-b=b(sinα-1)/(acosα)*x
yp=0,xp=-acosα/(sinα-1)
L2:y+b=b(sinα+1)/(acosα)*x
yq=0,xq=acosα/(sinα+1)
|OP|*|OQ|=|xp|*|xq|=-a^2cos^2α/(sin^2α-1)
=a^2cos^2α/cos^2α=a^2

Answer 4

用参数方程。设焦点在X轴，（一些符号我不会打，告诉你思路吧）
用参数设出M点，B1与B2也用参数表示，设P为（X1，0），然后此三点共线列方程，B1与P的斜率等于B1与M的斜率，得出P点坐标。同理可得Q点坐标。这样结果就有了。