Question

微积分二重积分的应用：求立体的体积 求由曲面z=xy,x+y+z=1，z=0所围成立体的体积。

Answer 1

z＝xy是双曲抛物面，就是马鞍面。
立体在xy坐标面上的投影是由x轴，y轴，直线x+y＝1围成的区域D。两个曲面z＝xy，x+y+z＝1的交线在xy坐标面上的投影是曲线：xy＝1－x－y，此曲线把区域D分成两部分。
D1由曲线xy＝1－x－y与x+y＝1围成，D2由x轴，y轴，xy＝1－x－y围成。
立体的边界曲面中曲面z＝xy的部分在xy坐标面上的投影是D2，曲面z1－x－y的部分在xy坐标面上的投影是D1。
所以体积V＝ http://dl.zhishi.sina.com.cn/upload/79/94/01/1490799401.8793396.JPG

Answer 2

借用下：
求两个曲面z=2-4x^2-9y^2与 z=√（4x^2+9y^2）所围立体的体积V
解：设x=rcosθ/2,y=rsinθ/3，r＞0，则原来的两个曲面方程化为
z=2-r²,z=r,它们的交线是r=1,z=1
V=∫∫[(2-4x²-9y²)-√(4x²+9y²)]dxdy
=(1/2)×(1/3)∫<0,2π>∫<0,1>r(2-r²-r)drdθ
=(π/3)∫<0,1>(2r-r²-r^3)dr
=(π/3)(r²-r^3/3-r^4/4)|<0,1>
=5π/36

追问

不好意思 答案错了哦

追答

按照上面的方法去做就可以了

Answer 3

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