Question

已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长

已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°．
（1）求证：BD•BC=BG•BE；
（2）求证：AG⊥BE；
（3）若E为AC的中点，求EF：FD的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，易证△GBD∽△CBE，得 BD/BE=BG/BC，即BD•BC=BG•BE；
（2）可通过证明ABG∽△EBA从而求得AG⊥BE；
（3）EF：FD=1： 10．
解答：证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴ BD/BE=BG/BC
即BD•BC=BG•BE；

（2）∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°，
∴BG= BD•BC/BE= 12BC•BC/BE= 1/2(√2AB)²/BE= AB²/BE，
∴ AB/BG= BE/AB，∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；

（3）∵EF：AF=EG：AG=AE²：（EB•AG）= 1/2，EF= 1/3AE，DE= 1/2AB，DF= 10/3AE
∴EF：FD=1： √10．

追问

第3题能详细点吗？不是很明白。

追答

……………………这足够详细了吧，这么长。。。。
要么，你具体哪里不懂啊，我觉得连算式步骤都写了，是不是够了。。

追问

∵EF：AF=EG：AG=AE²：（EB•AG）= 1/2，EF= 1/3AE,不懂。你觉得初二的能做吗？

Answer 2

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴
即BD•BC=BG•BE；
（2）证明：∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°，
∴BG====，
∴=，∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；

（3）解：连接DE，
连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE∥BA，
∵BA⊥AC，
∴DE⊥AC，设AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴CH=AG，
∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角，
∴BE=a，
∴AG=AB×=a=a，
∴CH=a，
∵AG⊥BE，∠FGE=45°，
∴∠AGF=45°=∠ECB，
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB；
∴∠DFE=∠BCH，
又∵DE⊥AC，CH⊥BE，
∴△DEF∽△BHC
∴EF：DF=CH：BC=a：2a=：10．

Answer 3

要证BD*BC=BG*BE只需证三角形BDG相似三角形BEC
因为 角CBE=角CBE
又因为 角FGE=角BGD
所以 角BGD=角C
所以 三角形BDG=三角形BEC
所以 BD/BG=BE/BC

Answer 4

我做第二问：
由第一题可得：BD•BC=BG•BE
因为：BD=AB/根号2
BC=根号2倍的AB
所以：BD•BC=BG•BE 可得到：AB的平方=BG•BE 又因为：角ABE为公共角。
所以三角形ABG相似于三角形EAB。
所以角AGB=90度。 所以AG⊥BE

Answer 5

∠BGD=∠FGE=45° 对顶角

△BAC是等腰直角三角形，∠BCA也是45°

∠BGD=∠BCA

∠GBD=∠EBC 同一个角

△BGD∽△BCE

BD:BE=BG:BC

BD•BC=BG•BE

后面两题你多给点分吧

追问

亲，最后一题怎么做？