Question

求解一道数列题！在线等

已知等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a7=7
(1)求数列an的通项公式
(2)若bn=an*2^n-1，求数列bn的前n项和Tn
(3)求证，a1C1/n+a2C2/n+·······+anCn/n=bn
Cn/n是排列组合

Answer 1

解：(1)由题意S3=6，a7=7得：
3a1+3d=6,a1+6d=7
解得：a1=1,d=1
所以数列an的通项公式an=a1+(n-1)d=n
(2)若bn=an*2^n-1，则bn=n*2^(n-1)
所以：Tn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+...+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1) （1）
则： 2Tn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^(n) （2）
（2）－（1）得：
Tn=－[2^1+2^2+2^3+...+2^(n-1)]+n*2^(n)-1
=2-2^n+ n*2^(n)-1
=(n-1)*2^(n)+1

(3)Cn?????

追问

Cn/n是排列组合

追答

收到
(3)由二项式定理得：
2^(n-1)=(1+1)^(n-1)
=C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+C(n-1,3)+...+C(n-1,n-1)
所以：bn=n*2^(n-1)
=nC(n-1,0)+nC(n-1,1)+nC(n-1,2)+nC(n-1,3)+...+nC(n-1,n-1) ......... (1)
=1*C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+4C(n,4)+...+nC(n,n) ............................ (2)
=a1*C(n,1)+a2*C(n,2)+a3*C(n,3)+a4*C(n,4)+...+an*C(n,n)
等式得证。

补充说明：上述证明过程(1)式推导出(2)式中，有：
nC(n-1,r)=n*(n-1)!/[(n-1-r)!*r!]=(r+1)*n!/{[n-(r+1)]!*(r+1)!}=(r+1)*C(n,r+1)
此等式对于r＝0，1，2，n-1时都成立，不妨可一一验证。

Answer 2

(1)a1+a3=4可得a2=2。又有a7=7。得d=1,a1=1.an=n
(2)错位相减法。Tn=1*2+2*4+3*8+......................+n*2^n-n
2Tn=1*4+2*8+3*16+.....................+n*2^(n+1）-2n
两式相减。得-Tn=2+4+8+16+...............+2^n-n*2^(n+1)+n
-Tn=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)+n
-Tn=(1-n)2^(n+1)+n-2
Tn=(n-1)2^(n+1)-n+2
(3)Cn呢？？

Answer 3

S3=a1+a1+d+a1+2d=3a1+3d=6=>a1+d=2...(A)
a7=a1+6d=7...(B) (B)-(A) 5d=5 => d=1; a1=1 => an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n...(1)ans
(2)bn=n*2^n
T= 1*2+2*2^2+3*2^3+.....+n*2^n
2T= 1*2^2+2*2^3+....+(n-1)*2^n +n*2^(n+1)相减
-T=2+2^2+2^3+2^4+...+2^n - n*2^(n+1)=2*(2^n-1) -n*2^(n+1)
=>Tn=T=n*2^(n+1)- 2*(2^n -1)=(n-1)*2^n+1 +2....(2)ans
(3) Cn 是啥?

Answer 4

1)
S3=3a1+3d=6,a1+d=2
a7=a1+6d=7
a1=1,d=1
an=1+(n-1)=n
2)
bn=n*2^(n-1) bn/2= n*2^(n-2)
bn-1=(n-1)*2^(n-2) b(n-1)/2= (n-1)*2^(n-3)
..
b2=2*2 b2/2=2
b1=1 b1/2=1/2
Tn/2- [Tn-n*2^(n-1)]=(1+2+..+2^(n-2)) +1/2
Tn/2 =n*2^(n-1) -2^(n-1)+1/2
Tn=n*2^n-2^n+1
3
C(1,n)=C(0,n-1)+C(1,n-1)
C(2,n)=C(2,n-1)+C(1,n-1)
C(3,n)=C(3,n-1)+C(2,n-1)
..
C(n-1,n)=C(n-2,n-1)+C(n-1,n-1) C(n-1,n-1)=C(0,n-1)
C(n,n)=C(n-1,n-1)
a1C(1,n)+a2C(2,n)+a3C(3,n)+..+anC(n,n)
=n*[C(0,n-1)+C(1,n-1)+C(2,n-1)+..+C(n-1,n-1)]
=n*2^(n-1)

Answer 5

（1）an=n
(2)Tn=(1-n)2^(n+1）-2-n
(3)数学归纳法就行了，2^n=C1/n+.......+Cn/n