Question

求解一高一数学题 题目如下：

设a＞b＞c＞0,2a^2+1/ab+1/[a*(a-b)]-10ac+25c^2的最小值是？我分就这点了 多包涵！希望能写出详细的步骤！！！
如果回答的好 还可以再追加分！！！在线等半小时！！！

Answer 1

原式=a^2-10ac+25c^2+a^2+(a-b)/[ab(a-b)]+b/[ab(a-b)]
=(a-5c)^2+a^2+1/(ab-b^2)
当a=5c时，原式值最小
原式=a^2+1/(ab-b^2)
=a^2+1/(-b^2+ab-a^2/4+a^2/4)
=a^2+1/[-(b-a/2)+a^2/4]
当b=a/2时，原式值最小
原式=a^2+4/a^2
=a^2+4/a^2+4-4
这时，有两种可能
可能性一：
原式=(a+2/a)-4
即当a=-2/a时，原式最小值等于-4
这时a^2=-2
a不是实数，无意义
可能性二：
原式=(a-2/a)+4
即当a=2/a时，原式最小值等于4

我们还可以计算出a=根号2，b=根号2/2，c=根号2/5
根据验证结果，结论正确，原式最小值＝4

Answer 2

2a^2+1/ab+1/a(a-b)-10ac+25c^2
=a^2+1/ab+1/a(a-b)+a^2-10ac+25c^2
=a^2+1/b(a-b)+(a-5c)^2
而b(a-b)<=(a/2)^2=a^2/4 （这是基本不等式，当且仅当b=a-b时成立）
所以：a^2+1/b(a-b)+(a-5c)^2
>=a^2+4/a^2+(a-5c)^2>=4+(a-5c)^2>=4
所以 ，最小值为4，成立条件是：当b=a-b且a=5c ，满足题意a＞b＞c＞0

Answer 3

由b(a-b)<=(a/2)^2=a^2/4可得
2a^2+1/ab+1/a(a-b)-10ac+25c^2
=a^2+1/ab+1/a(a-b)+a^2-10ac+25c^2
=a^2+1/b(a-b)+a^2-10ac+25c^2
>=a^2+4/a^2+(a-5c)^2
>=4
等号成立当且仅当b=a-b,a=5c,a^=2.

追问

为什么最后一步就可以得出答案得4呢？我有点笨~呵呵

追答

A^2+B^2>=2AB

Answer 4

看成关于c的二次函数即f(c)=25c^2-10ac+2a^2+1/ab+1/[a*(a-b)]
则最小值为[100（2a^2+1/ab+1/[a*(a-b)]）-100a^2]/100=a^2+1/ab+1/[a*(a-b)]=a^2+1/(b*(a-b))

Answer 5

原式等于(a-5c)^2+a^2+1/b(a-b)>=a^2+4/a^2 (1)
当a=5c且a=2b时取等号
又（1）>=4,当a^2=4/a^2时取等号，a=根号2，所以最小值是4