函数f(x)=7x^2-28x-c,g(x)=2x^3+4x^2-40x,若对任意x1,x2属于[-3,3]都有f(x1)<=g(x2)成立,求实数c

shangzhun909
2011-06-18 · TA获得超过2248个赞
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f(x)=7x^2-28x-c (x-2)^2=[f(x)+c+28]/7
可见f(x)的图象是抛物线,开口向上,顶点为(2,-c-28),
f(-3)=147-c,f(3)=-c-19,函数f(x)在[-3,2)之间为减函数,在(2,3]之间为增函数.
g(x)=2x^3+4x^2-40x,g(-3)=102,g(3)=-30,
g'(x)=6x^2+8x-40=6(x-2)(x+10/3),可见当-3≤x<2时,g'(x)<0,g(x)为减函数;
当x>2时,g'(x)>0,g(x)为增函数。
可见两函数在[-3,3]之间的图象呈U形,要使g(x)≥f(x),只要g(-3)≥f(-3),g(3)≥f(3),g(2)≥f(2),
即102≥147-c,
-30≥-c-19
-48≥-c-28
解得c≥45。
追问
这与我提问的相符吗?这是第1问的吧!
追答
完全相符
h3535353
2011-06-21 · TA获得超过1586个赞
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g(x)=2x^3+4x^2-40x
令g'(x)=6x^2+8x-40=0
得(3x+10)(x-2)=0,x=-10/3或2
说明在[-3,3]中g(x)在[-3,2)间递减(2,3]间递增。
于是g(x)在[-3,3]间的最小值是g(2)=-48
即对任意x1属于[-3,3],f(x1)<=48成立
即7(x-2)^2≤c-20恒成立,得c-20≥175
c≥195
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