Question

如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC,垂足

如图，△ABC中，∠ABC=45度，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交与点G。求证：
1.BF=AC
2.CE=1/2BF.

Answer 1

解: ∵∠BDC=90° ∠ABC=45° ∴∠DCB=45° △BDC为等腰直角三角形 BD=DC
∵BE平分∠ABC ∠ABC=45° ∴∠ABE=22.5° ∠DFB=90-22.5=67.5°

又∵ 直角△ABE和 △ACD共有∠A ∴∠ACD=∠ABE=∠ABF
∵直角△BDF和△ACD 中BD=DC, 且∠ACD=∠ABE ∴两个三角形全等 所以BF=AC

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∵∠ABE=22.5° ∴∠A=67.5°=∠ACB ∴△ABC为等腰三角形 AB=BC BE平分顶角，E为AC边中点 所以CE=1/2AC=1/2BF.

Answer 2

证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CDA=90°；
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠ABC=45°（三角形的内角和定理），
∴DB=DC（等角对等边）；
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°（直角三角形的两个锐角互为余角）；
∵∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD（同角的余角相等）；
在△BDF和△CDA中，

∠BDC=∠CDADB=DC∠ABE=∠ACD

∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC（全等三角形的对应边相等）．
祝你学习更上一层楼 ！