Question

实在不懂得几何数学题！高人求教！

变式：若将两个等腰三角形△ABC和△DBE的锐角顶点B重合，M、N、P分别是AD、CB、BE边上的中点，试说明MP和MN的关系。

Answer 1

我先假设四边形ABCD和四边形ABDE都是梯形
梯形的中位线有这个一个特性：中位线=1/2（上底+下底）
单看梯形ABCD，因为M,N是AD,CB是中线，则MN是四边形的中位线，则MN=1/2（AC+BD）
单看梯形ABED，因为M,P是AD,EB是中线，则MP是四边形的中位线，则MP=1/2（AB+DE）
因为三角形△ABC和△DBE是等腰的，则AC=AB,BD=DE,也就是说 MN=MP
前面我们假设是梯形，现在问题是，如果只是普通的四边形，现在满不满足：
四边形的中位线=1/2（上底+下底）？？？？？

追问

抱歉，偶们还没学梯形的中位线=1/2（上底+下底）

Answer 2

是否漏掉“直角”的条件？

追问

等腰直角三角形。。。

追答

向量MN=AN-AM=(AB+AC)/2-AD/2
=(AB+AC-AB-BD)/2
=(AC-BD)/2，
向量MP=(BD+DE-DB-BA)/2
=(DE-BA)/2，?

Answer 3

答：相等
推理：连接AP，DP，AN，DN
∵等腰三角形△ABC和△DBE，N、P分别是CB、BE边上的中点
∴AN⊥BC，DP⊥BE（三线合一）
∴△AND与△APD均为直角三角形
∵M是AD边上的中点
∴AM=DM=MN，AM=DM=MP（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）、
∴MN=MP

追问

请问：△AND为何为直角三角形？
如果AN⊥BC，那么△ANB才为直角三角形

追答

不过没有其他条件吗......

追问

呜呜呜。。好难啊。。

Answer 4

条件不足吧，再好好看看题，可不可以想象成特殊情况做呢，C,B,E在一天直线上的时候，好做点吧

Answer 5

MP垂直MN