Question

f（x）=x-a（x+1）ln(x+1)的导数

a≥0时，单调区间

当a=1，f（x）=t在【-0.5,1】上有两个实数解，求t的取值

Answer 1

当a≥0时f'(x)=1-aln(x+1)-a
当a[ln(x+1)+1]<1，ln(x+1)＜1/a-1,x+1<e^(1/a-1),x<e^(1/a-1)-1时，f'(x)＞0，函数单增，反之单减
a=1，f（x）＝x-（x+1）ln(x+1)＝t有两个实数解
令g(x)=x-（x+1）ln(x+1)-t，因为t是常数，因此g(x)与f(x)同增同减
f'(x)=-ln(x+1)，可见当-1<x<0时，f'(x)>0,函数单增，x>0进，f'(x)＜0,函数单减，极值点，x=0,是其极大值，则
g(0)=-t<0
g(-0.5)=-0.5-0.5ln(0.5)-t>0
g(1)=1-2ln2-t>0
解这个不等式组就可得t的范围。

Answer 2

f（x）=x-a（x+1）ln(x+1)
f'(x)=1-a（x+1）'ln(x+1)-a（x+1）[ln(x+1)]'
=1-aln(x+1)-a（x+1）/(x+1)(x+1)'
=1-aln(x+1)-a

追问

a≥0时，单调区间
当a=1，f（x）=t在【-0.5,1】上有两个实数解，求t的取值

追答

当a≥0时f'(x)=1-aln(x+1)-a
当a[ln(x+1)+1]0,函数单增，x>0进，f'(x)＜0,函数单减，极值点，x=0,是其极大值，则
g(0)=-t0
g(1)=1-2ln2-t>0
解这个不等式组就可得t的范围。

Answer 3

导数为： 1-a-aln(x+1) 利用积的导很容易算出来

Answer 4

1-a-aln(x+1)
利用复合函数求导。

Answer 5

1 - a - a Ln(1 + x)