Question

数列an的前n项和为Sn,a1=1/4且Sn=Sn-1+an-1+1/2（n-1为下标）

数列bn满足b1=-119/4,3bn-bn-1=n 求an通项公式，证：数列bn-an是等比数列，bn前n项和Tn的最小值
数列an不一定是等差数列~~

Answer 1

1
Sn=Sn-1 +an-1 +1/2
an-an-1=1/2
an=a1+(n-1)/2=1/4+(n-1)/2=n/2-1/4
2
3bn-bn-1=n
3bn-3n/2-3/4=bn-1-(n-1)/2 -1/4
设cn=bn-n/2-1/4
cn=bn-an
3cn=cn-1
所以数列bn-an是等比数列
b1=-119/4 ,c1=-119/4-1/2-1/4=-122/4=-61/2
cn=c1*(1/3)^(n-1) =(-61/2)*(1/3)^(n-1)
Scn=c1*(1-(1/3)^(n)/(1-1/3)=(-61/2)*(3/2)(1-1/3^n)
=(-183/4)(1-1/3^n)
San=(n/2)n/2=n^2/4
Tn=Sbn=Scn+San=n^2/4+(-183/4)(1-1/3^n)
n=1时，Tn最小=b1=-119/4

追问

题目中没有说数列an是等差数列~~

追答

Sn=Sn-1 +an-1 +1/2
(Sn-Sn-1)-an-1=1/2
an=Sn-Sn-1
an-an-1=1/2
an等差数列
a1=1/4 an=1/4+(n-1)/2=n/2-1/4

Answer 2

sn-sn-1=an
所以an-an-1=1/2
an=a1+(n-1)*1/2=1/4+(n-1)/2=n/2-1/4
下面待定系数法求bn
如下
3*（bn-n/2+1/4）=（bn-1-n-1/2+1/4）（你可以展开验证一下，这里的（-n/2+1/4）是个待定的求解过程）
所以上述是一个等比数列
首项为b1-1/2+1/4=-30
bn=-30*3^(n-1)+n/2-1/4
bn-an=-10*3^n
所以是等比数列