Question

已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明n/2-1/3<a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2

Answer 1

a(n+1)=2an+1即
a(n+1)+1=2(an+1)=2^n(a1+1)=2^(n+1)
所以
a(n+1)=2^(n+1)-1
an=2^n-1

a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)
=1/3+3/7+...+(2^n-1)/[2^(n+1)-1]
<1/(3-1)+3/(7-1)+...+(2^n-1)/[2^(n+1)-2]
=1/2+1/2+...+1/2
=n/2

a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)
=1/3+3/7+...+(2^n-1)/[2^(n+1)-1]
=(1.5-0.5)/3+(3.5-0.5)/7+...+[(2^n-0.5)+0.5]/[2^(n+1)-1]
=n/2-0.5{1/3+1/7+...+1/[2^(n+1)-1]}
>n/2-0.5{1/3+1/6+...+1/[2^(n+1)-2^(n-1)]+1/[2^(n+1)-2^(n-1)]}
=n/2-1/3

追问

>n/2-0.5{1/3+1/6+...+1/[2^(n+1)-2^(n-1)]+1/[2^(n+1)-2^(n-1)]}
为什么？貌似不对

追答

大括号里第一项不变,后面每项变成1/[2^(n+1)-2^(n-1),这样一来就变成了首项1/3,公比为1/2的等比数列,所以我在后面又多加了一个末项,向前累加后刚好等于2/3,乘上外面的0.5就是1/3

Answer 2

a(n+1)+1=2(an+1)
所以(an+1)/(a(n+1)+1)=1/2
a2=2a1+1=3
a1/a2+a2/a3+...an/a(n+1)
=1/3+1/2+1/2+..1/2 (这里有n-1个)
=1/3+(n-1)/2=n/2-1/6
所以n/2-1/3<n/2-1/6<n/2

追问

求得(an+1)/(a(n+1)+1)=1/2
为什么下面可以变成an/a(n+1)=1/2

追答

我看错了。。。
我看错了。。。
=====================
a(n+1)+1=2(an+1)
所以(an+1)/(a(n+1)+1)=1/2
a2=2a1+1=3
可以解得n>1,an的通项为an=2^n-1
an/a(n+1)<(an+1)/[a(n+1)+1]
所以a1/a2+a2/a3+...an/a(n+1)
<1/3+(n-1)/2=n/2-1/6<n/2
大于的那个用通项吧.！

Answer 3

数学论证法：
假设 n/2-1/3<a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2 成立，只需证明第n+1项也符合该不等式！
∵n/2-1/3<a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2
∴n/2-1/3+a(n+1)/a(n+2)<a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)+a(n+1)/a(n+2)<n/2+a(n+1)/a(n+2)..①
∵a(n+2)=2a(n+1)+1
∴a(n+1)/a(n+2)=a(n+1)/[2a(n+1)+1]<1/2.................................................................②
∴n/2-1/3+1/2< a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)+a(n+1)/a(n+2)<n/2+1/2
∴(n+1)/2-1/3<a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)+a(n+1)/a(n+2)<(n+1)/2

追问

这么证明可以吗