Question

两道高中数学证明题

一、对任一正整数a，都存在整数b，c(b<c)，使得a方，b方，c方成等差数列
二、存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数，且an方，bn方，cn方成等差数列

Answer 1

(1)
考虑到结构特征，取特值1²，5²，7²满足等差数列，只需取b＝5a，c＝7a，对一切正整数a均能成立 【类似勾股数进行拼凑】

(2)
证明：当an²，bn²，cn²成等差数列，则bn²－an²＝cn²－bn²
分解：(bn＋an)(bn－an)＝(cn＋bn)(cn－bn)
选取关于n的一个多项式，4n(n²－1)做两种途径的分解：
4n(n²－1)＝(2n－2)(2n²＋2n)＝(2n²－2n)(2n＋2) 4n(n²－1)
对比目标式，构造：
{an＝n²－2n＋1
{bn＝n²＋1 (n≥4)，由第一问结论得，等差数列成立
{cn＝n²＋2n－1
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边
下证互不相似
任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例
即(m²－2m－1)/(n²－2n－1)＝(m²＋1)/(n²＋1)＝(m²＋2m－1)(n²＋2n－1)
由比例的性质得：(m－1)/(n－1)＝(m＋1)(n＋1)
从而m＝n
与约定不同的值矛盾，故互不相似

追问

选取关于n的一个多项式，4n(n2－1)做两种途径的分解：
4n(n2－1)＝(2n－2)(2n2＋2n)＝(2n2－2n)(2n＋2)
这一步是什么意思，没看懂
而且你构造的an bn cn
(bn+an)(bn-an)=2n(2n2－2n＋2)=4n(n2－n＋1)
(cn+bn)(cn-bn)=(2n2+2n)(2n-2)=4n(n+1)(n-1)
两者不相等啊，也就不成等差数列了……

Answer 2

1:题意等价于2b²=a²+c²,a∈N+,b和c∈N
左边为有理数，右边也为有理数，故等号成立。

2.证明：当an²，bn²，cn²成等差数列，则bn²－an²＝cn²－bn²
分解：(bn＋an)(bn－an)＝(cn＋bn)(cn－bn)
选取关于n的一个多项式，4n(n²－1)做两种途径的分解：
4n(n²－1)＝(2n－2)(2n²＋2n)＝(2n²－2n)(2n＋2) 4n(n²－1)
对比目标式，构造：
{an＝n²－2n＋1
{bn＝n²＋1 (n≥4)，由第一问结论得，等差数列成立
{cn＝n²＋2n－1
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边
下证互不相似
任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例
即(m²－2m－1)/(n²－2n－1)＝(m²＋1)/(n²＋1)＝(m²＋2m－1)(n²＋2n－1)
由比例的性质得：(m－1)/(n－1)＝(m＋1)(n＋1)
从而m＝n
与约定不同的值矛盾，故互不相似

追问

第一问的答案没有一点说服力
第二问是你自己写的吗？怎么和楼上的答案一摸一样？？？有一些漏洞，我也提出来了呀……