Question

如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE垂直于BC，垂足为E，PF垂直于CD,垂足为F，求证

1.EF=AP
2.EF⊥AP
3.BP=√2FC
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Answer 1

延长EP交AD于G,延长FP交AB于H,
∵ PE⊥BC,PF⊥CD
则PH⊥AB,PG⊥AD
又∵ABCD是正方形∴四边形 HPEB是矩形,四边形AGPH也是矩形,四边形PFCE也是矩形
∵ABCD是正方形 ∴∠PBE=45°则∠EPB=45°∴PE=BE
∴四边形 HPEB是正方形,EP=HP
同理可得,四边形 GDFP是正方形,则GP=PF
∵四边形AGPH是矩形∴AG=HP=EP
在Rt△EPF与Rt△AGP中，
EP=AG ∠EPF=∠AGP=90°PF=GP
∴Rt△EPF≌Rt△AGP
∴EF=AP ∠APG=∠EFP
延长AG交EF于Q,则∠FPQ=∠HPA
∵∠HPA+∠APG=∠HPG=90°
∴∠FPQ+∠EFP=90°
∴在△FPQ中,∠FQF=180°-(∠FPQ+∠EFP)=90°
∴EF⊥PQ 即EF⊥AP
∵四边形PFCE是矩形
∴FC=EP
在Rt△BEP中,∠PBE=∠BPE=45°,∴PE=PBSin45°∴PB=PE/Sin45°=√2PE=√2FC

Answer 2

第一！∵四边形AGPH是矩形∴AG=HP=EP
在Rt△EPF与Rt△AGP中，
EP=AG ∠EPF=∠AGP=90°PF=GP
∴Rt△EPF≌Rt△AGP
∴EF=AP ∠APG=∠EFP
延长AG交EF于Q,则∠FPQ=∠HPA
∵∠HPA+∠APG=∠HPG=90°
∴∠FPQ+∠EFP=90°
∴在△FPQ中,∠FQF=180°-(∠FPQ+∠EFP)=90°
∴EF⊥PQ 即EF⊥AP
∵四边形PFCE是矩形
∴FC=EP
在Rt△BEP中,∠PBE=∠BPE=45°,∴PE=PBSin45°∴PB=PE/Sin45°=√2PE=√2FC