Question

如图所示， 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，角BCD=60度，E是CD的中点，PA垂直底面ABCD，PA=根号3

求二面角A—BE—P的大小（详细过程）

Answer 1

连接BD。
∵ABCD是边长为1的菱形 ∴AB=BC=CD=1
在△BCD中，BC=CD=1，∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形。∵E是CD的中点 ∴BE是∠CBD的角平分线，即∠CBE=30°。
∵ABCD是菱形，∠BCD=60° ∴∠CBA=120°
∴∠ABE=90°，即AB⊥BE
∵PA⊥平面ABCD ，BE在平面ABCD上 ∴PA⊥BE
∵BE⊥PA，BE⊥AB ∴BE⊥平面PAB ∴BE⊥PB
由AB⊥BE，PB⊥BE，故∠PBA是二面角A-BE-P的平面角
∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AB，即∠PAB=90°
在Rt△PAB中，PA=√3，AB=1 ∴tg∠PBA=√3 ∴∠PBA=60°
所以，二面角A-BE-P为60°。