Question

已知f(x)=tan(2x+π/4)

已知f(x)=tan(2x+π/4)
(1)求f(x)的定义域与最小正周期
(2)设α∈(0,π/4),若f(α/2)=2cos2α,求α的大小

Answer 1

已知f(x)=tan(2x+π/4)
(1)求f(x)的定义域与最小正周期
(2)设α∈(0,π/4),若f(α/2)=2cos2α,求α的大小
解：(1)定义域：由-π/2+kπ<2x+π/4<π/2+kπ，-3π/4+kπ<2x<π/4+kπ，得定义域为：
-3π/8+kπ/2<x<π/6+kπ/2
最小正周期T=π/2
(2)f(α/2)=tan(α+π/4)=2cos2α
(1+tanα)/(1-tanα)=(sinα+cosα)/(cosα-sinα)=2(2cos²α-1)
sinα+cosα=2(2cos²α-1)(cosα-sinα)
sinα+cosα=4cos³α-2cosα-4cos²αsinα+2sinα
4cos³α-3cosα-4cos²αsinα+sinα=0
cos3α-4(1-sin²α)sinα+sinα=cos3α+4sin³α-3sinα=cos3α-(3sinα-4sin³α)=cos3α-sin3α=0
∴tan3α=1，3α=π/4，α=π/12∈(0，π/4).

Answer 2

解：(1)定义域：由-π/2+kπ<2x+π/4<π/2+kπ，-3π/4+kπ<2x<π/4+kπ，
（-3π/8+kπ/2<x<π/6+kπ/2）
最小正周期T=π/2
(2)f(α/2)=tan(α+π/4)=2cos2α
(1+tanα)/(1-tanα)=(sinα+cosα)/(cosα-sinα)=2(2cos²α-1)
sinα+cosα=2(2cos²α-1)(cosα-sinα)
sinα+cosα=4cos³α-2cosα-4cos²αsinα+2sinα
4cos³α-3cosα-4cos²αsinα+sinα=0
cos3α-4(1-sin²α)sinα+sinα=cos3α+4sin³α-3sinα=cos3α-(3sinα-4sin³α)=cos3α-sin3α=0
tan3α=1，3α=π/4，α=π/12∈(0，π/4).