Question

a,b,c是正实数，求证(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)>=9abc

要详细解答，谢啦

Answer 1

【1】
三元基本不等式：
当x,y,z＞0时，恒有：
x+y+z≥3[(xyz)^(1/3)]，等号仅当x=y=z时取得，
【2】证明：
①∵a,b,c＞0.
∴由三元基本不等式可得：
a+b+c≥3[(abc)^(1/3)].
等号仅当a=b=c时取得。
②由三元基本不等式可得：
a²+b²+c²≥3[(a²b²c²)^(1/3)]
等号仅当a²=b²=c²时取得。
③上面两式相乘，可得：
(a+b+c)(a²+b²+c²)≥9[(abc)^(1/3)]×[(a²b²c²)^(1/3)]
=9[(abc)(a²b²c²)]^(1/3)
=9abc.
即(a+b+c)(a²+b²+c²)≥9abc.
等号仅当a=b=c时取得。

追问

非得用三元基本不等式吗？没有别的方法吗？

追答

其实，该题就是为“三元基本不等式”这个知识点设计的。
其他方法可能有，我想会很麻烦的。

Answer 2

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)≥3(abc)^(1/3)*3(a^2b^2c^2)^(1/3)
=9(a^3*b^3*c^3)^(1/3)
=9abc