Question

求证,对一切x∈(0,正无穷),都有lnx>1/e^x-2/ex

Answer 1

解：即是证明 lnx+2/(ex)>1/(e^x)恒成立
令f(x)= lnx+2/(ex), y(x)=1/(e^x) x~(0,+∞)
y(x)'=-1/(e^x)
对f(x)求导，并令f(x)'≥0：
f(x)'=1/x -2/(ex^2)=(ex-2)/(ex^2)≥0
解得：
增区间为：[2/e,+∞)
减区间为：(0,2/e]
故：f(x)min=f(2/e)=ln2
y(2/e)=1/[e^(2/e)]≈0.479<f(2/e)=ln2
分析：
用图像法可知，在x~[2/e,+∞)上，f(x)是单调递增的，y(x)在整个定义域内都是单调递减的。由于有：
y(2/e)<f(2/e)，
因此可得到，在区间x~[2/e,+∞)上，f(x)>y(x)恒成立。
故现在只需分析x~(0,2/e]这个区间了。
对f(x)和y(x)分别去趋近于0的极限，得到：
limx~0[f(x)]=limx~0[lnx+2/(ex), ]=+∞
limx~0[y(x)]=limx~0[1/(e^x) ]=1
在区间x~[2/e,+∞)上,令f(x)'=y(x)',并设解为a，可以得到：
a~(6/5e,4/3e)
联系图像，且f(x)'在区间x~[2/e,+∞)上的减小趋势大于y(x)'的减小趋势，则有：
f(a)>y(a)
又因为在该区间上，limx~0[f(x)]=+∞>limx~0[y(x)]=1
故可得到在x~[2/e,+∞)上，也有：
f(x)= lnx+2/(ex)>y(x)=1/(e^x)
因此综上可得：
在x~(0,+∞)上，恒有lnx+2/(ex)>1/(e^x)，即是恒有lnx>1/(e^x)-2/ex
原式得证

Answer 2

解：即是证明 lnx+2/(ex)>1/(e^x)恒成立
令f(x)= lnx+2/(ex), y(x)=1/(e^x) x~(0,+∞)
y(x)'=-1/(e^x)
对f(x)求导，并令f(x)'≥0：
f(x)'=1/x -2/(ex^2)=(ex-2)/(ex^2)≥0
解得：
增区间为：[2/e,+∞)
减区间为：(0,2/e]
故：f(x)min=f(2/e)=ln2
y(2/e)=1/[e^(2/e)]≈0.479<f(2/e)=ln2
分析：
用图像法可知，在x~[2/e,+∞)上，f(x)是单调递增的，y(x)在整个定义域内都是单调递减的。由于有：
y(2/e)<f(2/e)，
因此可得到，在区间x~[2/e,+∞)上，f(x)>y(x)恒成立。
故现在只需分析x~(0,2/e]这个区间了。
对f(x)和y(x)分别去趋近于0的极限，得到：
limx~0[f(x)]=limx~0[lnx+2/(ex), ]=+∞
limx~0[y(x)]=limx~0[1/(e^x) ]=1
在区间x~[2/e,+∞)上,令f(x)'=y(x)',并设解为a，可以得到：
a~(6/5e,4/3e)
联系图像，且f(x)'在区间x~[2/e,+∞)上的减小趋势大于y(x)'的减小趋势，则有：
f(a)>y(a)
又因为在该区间上，limx~0[f(x)]=+∞>limx~0[y(x)]=1
故可得到在x~[2/e,+∞)上，也有：
f(x)= lnx+2/(ex)>y(x)=1/(e^x)