Question

△ABC是正三角形,d是射线bc上一个动点(与B、C不重合）,△ADE是以AD为边地正△,过E作BC的平行线交

△ABC是正三角形,d是射线bc上一个动点(与B、C不重合）,△ADE是以AD为边地正△,过E作BC的平行线交射线AC于F，连接BE。（1）图①，当点D在BC上运动时，求证：△AEB全等于三角形ADC，探究四边形BCEF是个什么特殊四边形，。理由。
（2）如图②，当D在BC的延长线上时，（1）的结论是否还成立？理由。
（3）在（2）下，D运动到什么位置时四边形BCEF是菱形？理由。

Answer 1

证明：
⑴
∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB＝AC，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°
∴∠DAE－∠BAD＝∠BAC－∠BAD
即∠BAE＝∠CAD
∴△AEB≌△ADC(SAS)

四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
由上得：△AEB≌△ADC
∴∠ABE＝∠C＝60°
又∠BAC＝∠C＝60°
∴∠ABE＝∠BAC
∴BE∥CF
又EF∥BC
∴四边形BCEF是平行四边形

⑵
⑴中的结论仍成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°
∴∠BAC－∠EAF＝∠DAE－∠EAF
即∠BAE＝∠DAC
∴△AEB≌△ADC(SAS)

四边形BCEF是平行四边形
由△AEB≌△ADC得：
∠ABE＝∠ACD
而∠ACD＝180°－∠ACB＝120°
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝60°＋∠CBE＝120°
∴∠CBE＝60°
∵∠DCF＝∠ACB＝60°(对顶角相等)
∴∠DCF＝∠CBE
∴CF∥BE
又BC∥EF
∴四边形BCEF是平行四边形

⑶
当CD＝CB时，四边形BCEF是菱形，理由如下：
由△AEB≌△ADC得：
BE＝CD
又CD＝CB
∴BE＝CB
由上知：四边形BCEF是平行四边形
∴四边形BCEF是菱形

Answer 2

证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC．（3分）

②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．（5分）
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

（2）①②都成立．（8分）

（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD（10分）
又∵CD=CB，
∴BE=CB．（11分）
由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形．（12分）

方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．（9分）
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB（11分）
∴CD=CB．（12分）

方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG（11分）
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30度．（12分）

Answer 3

你这图 自己做的? 第一个图明显是错图 第二个 画明显不规范
(1)AB=AC AD=AE 角BAE=角FAD

Answer 4

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