Question

已知三阶实对称矩阵A的特征值为1,1，-2，且（0，1，1）T，是对应于-2的特征向量，求A。

请写出过程去，谢谢！

Answer 1

这个，我的解法比较粗暴，凑合着看吧；
由于-2的特征向量为X1（0，1，1）T；且实对称矩阵对角化的特征向量组为正交组；
故有设1所对应的特征向量为X（a1,a2,a3)
有XX1=0；a2+a3=0；解得X的两组基向量为（1,0,0），（0,1，-1）；
由许米特正交法（具体方法可以百度一下）将两组向量正交化
得到（1,0,0），（0,√2/2，-√2/2）两组向量,
将X1（0，1，1）正交化得到（0,√2/2，√2/2）；
故得到矩阵C
1 0 0
0 √2/2 √2/2
0 -√2/2 √2/2
有
|1 0 0 |
AC=C | 0 1 0 |
|0 0 -2|
解得
A=
1 0 0
0 -1/2 -3/2
0 -3/2 -1/2

Answer 2

解: 设属于特征值1的特征向量为(x1,x2,x3)^T
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交
故(x1,x2,x3)^T与a1=(0,1,1)^T正交.
即有 x2+x3=0.
得基础解系: a2=(1,0,0)^T,a3=(0,1,-1)^T

令P=(a2,a3,a1) =
1 0 0
0 1 1
0 -1 1
则 P^-1AP = diag(1,1,-2).
所以 A = Pdiag(1,1,-2)P^-1=
1 0 0
0 -1/2 -3/2
0 -3/2 -1/2