Question

已知数列{an}满足a1=1,an+1=｛1/2an+n,n为奇数，an-2n，n为偶数｝ 记bn=a2n Tn=a1+a2+a3+……a（2n+1）

求bn的通项
Tn的表达式

Answer 1

a2=1/2*a1+1=1.5
a(2n)=1/2*a(2n-1)+2n-1
=1/2*[a(2n-2)-2(2n-2)]+2n-1
=1/2*a(2n-2)+1
设cn=bn-2=a(2n)-2
c1=a2-2=1.5-2=-0.5
c(n-1)=a(2n-2)-2即a(2n-2)=c(n-1)+2
cn=a(2n)-2=1/2*a(2n-2)+1-2=1/2*[c(n-1)+2]+1-2=1/2*c(n-1)
所以cn是首项为c1=-0.5，公比为q=1/2的等比数列
其通项公式为
cn=c1*q^(n-1)=-0.5*(1/2)^(n-1)=-1/(2^n)
其前n项和为
Sn=c1*(1-q^n)/(1-q)=1/(2^n)-1
所以bn=cn+2=2-1/(2^n)

a(2n+1)=a(2n)-2(2n)=a(2n)-4n
a(2n)+a(2n+1)=2a(2n)-4n=2(cn+2)-4n=2cn-4(n-1)
所以
Tn=a1+a2+a3+……a（2n+1）
=a1+(a2+a3)+...+[a(2n)+a(2n+1)]
=1+2c1+...+[2cn-4(n-1)]
=1+2(c1+c2+...+cn)-4[1+2+...+(n-1)]
=1+2Sn-4n(n-1)/2
=1+[2/(2^n)-2]-2n(n-1)
=1/[2^(n-1)]-1-2n(n-1)