Question

如图,在三角形ABC和三角形DEF中,∠A=∠D =90度,AB=DE=3,AC=2DF=4.(1)判断这两个三角形是否相似？（2）能否

分别过A,D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个△分别对应相似？
证明你的结论。

Answer 1

解：（1）不相似．（1分）
∵在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；
在Rt△EDF中，∠D=90°，DE=3，DF=2，
∵ ABDF= 32， ACDE= 43，
∴ ABDF≠ ACDE，
∴Rt△BAC与Rt△DFE不相似．（4分）

（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
证明：作∠BAM=∠E，交BC于M；作∠NDE=∠B，交EF于N．（7分）
由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN．（8分）
∵∠BAM=∠E，∠NDE=∠B，∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E+∠NDE，
∴∠AMC=∠FND．（9分）
∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B，
∴∠FDN=∠C．
∴△AMC∽△FND．（10分）

Answer 2

解：（1）不相似．（1分）
∵在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；
在Rt△EDF中，∠D=90°，DE=3，DF=2，
∵=，=，
∴≠，
∴Rt△BAC与Rt△DFE不相似．（4分）

（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
证明：作∠BAM=∠E，交BC于M；作∠NDE=∠B，交EF于N．（7分）
由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN．（8分）
∵∠BAM=∠E，∠NDE=∠B，∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E+∠NDE，
∴∠AMC=∠FND．（9分）
∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B，
∴∠FDN=∠C．
∴△AMC∽△FND．（10分）