Question

a,b,c是正数,求证:a^3/(b^2+c^2)+b^3/(c^2+a^2)+c^3/(a^2+b^2)>=(a+b+c)/2

Answer 1

根据柯西不等式：
(sum(a(b^2+c^2)))(sum(a^3/(b^2+c^2)))>=(a^2+b^2+c^2)^2

又容易证明sum((a^2/b)+(a^2/c))>=2(a+b+c)

所以
sum(a^3(b+c))>=2abc(a+b+c)成立

又因为sum(a^4)+(a^2 *b^2+b^2 *c^2+c^2 *a^2)>=sum(a^3 (b+c))（两边同乘2就容易证明了）

所以2*sum(a^4)+2(a^2 *b^2+b^2 *c^2+c^2 *a^2)>=sum(a^3(b+c))+2abc(a+b+c)成立

所以2(sum(a^2))^2>=(sum(a(b^2+c^2)))*(a+b+c)
所以结合第一步，原式成立。

Answer 2

b^2+c^2<=(b+c)^2 / 2
c^2+a^2<=(c+a)^2 / 2
a^2+b^2<=(a+b)^2 / 2
所以a^3/(b^2+c^2)+b^3/(c^2+a^2)+c^3/(a^2+b^2)
>= 2*[a^3/(b+c)^2 + b^3/(c+a)^2 + c^3/(a+b)^2]
>=2*(a+b+c)^3 / (b+c+c+a+a+b)^2 (这里用到了权方和不等式,详细内容自己搜索)
=(a+b+c)/2

追问

应该是b^2+c^2>=(b+c)^2 / 2才对啊。。。这个不等号弄反了、。。

追答

恩,我再想想,这题很难

追问

en ..谢了。。