Question

f(x)在（a,b）上具有二阶连续导数又 f'(a)=f'(b)=0 证明：存在u属于(a,b) f(u)<=4|f(a)-f(b)|/(b-a)^2

Answer 1

应该是f''(u)吧
在x=a,x=b处分别泰勒展开得
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(Φ1)(x-a)^2/2!
f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+f''(Φ2)(x-b)^2/2!
令x=(a+b)/2得
f[(a+b)/2]=f(a)+f''(Φ1)(b-a)^2/8 (a<Φ1<(a+b)/2)
f[(a+b)/2]=f(b)+f''(Φ2)(b-a)^2/8 ((a+b)/2<Φ2<b)
两式相减取绝对值得
|f(b)-f(a)|=(1/8)*(b-a)^2*|f''(Φ1)-f''(Φ2)|<=(1/8)*(b-a)^2*(|f''(Φ1)|+f''(Φ2)|)
取max{f''(Φ1),f''(Φ2)}=f''(u)
就得到要证明的式子，f''(u)应该有绝对值符号。