Question

求微积分方程y''-3y'-4y=0满足初始条件y(0)=0,y'(0)=-5的特解

Answer 1

回答高数问题，最重要的不是给予答案，而是通过例子示范解题的方法，以便可以举一反三。
那么我来为你解决和讲解一下这道题。
首先，这是一个线性一元二阶微分方程。线性就是方程等于0，非线性就是方程不等于零。 因为有y''指的是对y微分两次，如果是一次y' 称为一阶微分，y'''以上为高阶微分，解这个方程有很多种方法，每种方法有每种方法的优势，这里全面的介绍解题方法是不现实的，这个必须靠你自己去相关参考书上学习，但是针对这个题目，有个比较通用的解题方法，那就是特征方程解法。
首先，你要明白y'',y',y只是一个简单的表达式，真正完整的表达方法是 y''(t) y'(t) y(t),这样的意思是,y是对t的函数。 当然这个t在这里不一定非要表达时间，只是一个变量。（这个方程实际在运动 电子和信号学科上可以表达不同的物理含义，不过这都是深层的含义，和解题无关。）
解题开始：
因为y是关于t的函数，那么这个方程的解肯定是以t为变量的固定形式 y=a*e^(rt)+b*e^(rt)+C
解释: ^为乘方号 y^2意思为y的平方 ^符号在计算机编程中 广泛用于平方符号。上面的方程为通解表达式，其中C为特殊解，用于确定唯一解。
将这个表达式进行一次微分 y'=ar*e^(rt)+br*e^(rt) （1）式
再进行二次微分 y''=ar^2*e^(rt)+br^2*e^(rt) （2）式
将（1） （2）式带入原方程
ar^2+br^2-3ar-3br-4a-4b=0 （3）式
解释：这个是带入1 2式之后再进行化简后的结果，因为都方程左端每项都含有e^(rt)，右端等于零，所以可以消去所有e^(rt),等到 （3）式，这个代入和化简过程，你务必要在纸上亲自验算，这样你才能体会如何得到特征方程的过程，这一点对于你理解解决同类方程的方法很重要！！！！！请务必亲自验算！！！！！）
再次化简，去掉(a+b)
r^2-3r-4=0 这个就是特征方程！
解得的特征根为 r=4和 r=-1
将特征根代入 y=a*e^(rt)+b*e^(rt)+C
y=ae^4t+b*e-t+C 这个是方程的通解，那么我们怎的得到特解呢？就需要初始条件
t=0的时候 y=0 代入t
y=a+b=0
t=o y'=0 微分y' 代入t
y'=4a-b=0

我们得到两个二元一次方程组
a+b=0
4a-b=-5
解得
a=-1
b=1

那么解为 y(t)=-e^4t+e^t+C
注意不要忘记C，这是个常量，代表这个解仍然有多重可能，因为条件约束条件只有两个！！！！！不要忘记，不然你这道题的答案是不完整的。
解题过程完毕，这就是利用特征方程的方法解决微分方程的方法，如果有高阶微分方程，仍然可以用这个方法，但是有很强的局限性，比如说一元三次方程的解就比较难，我只在这里抛砖引玉，希望你能自己好好体会这个方法。

Answer 2

y''-3y'-4y=0
特征方程：
r^2-3r-4=0
r=4,r=-1
方程的通解为y=C1e^(4x)+C2e^(-x)
y(0)=0代入得0=C1+C2 (1)
y'=4C1e^(4x)-C2e^(-x)
y'(0)=-5代代入得
-5=4C1-C2 (2)
(1)+(2)得
C1＝－1。C2＝1
故原方程的解是y=－e^(4x)+e^(-x)