Question

高一一道数学难题（三角变换+函数图像问题）

已知函数y=sin^2x+sin2x+3cos^2x，求（1）函数的最小值及此时x的集合。
（2）函数的单调减区间。（3）此函数的图像可以由函数y=根号2sin2x的图像经过怎样变换得到

Answer 1

因为sin²x+cos²x=1,所以y=1+2cos²x+sin2x=2+cos2x+sin2x=根号2sin(2x+π/4）+2。
所以(1)当sin(2x+π/4)=-1时有最小值2-根号2。此时2x+π/4=2kπ+3π/2，即x=kπ+5π/8。
(2)2kπ+π/2≤2x+π/4≤2kπ+3π/2，减区间【kπ+π/8，kπ+5π/8】
（3）向左平移π/8个单位，再向上平移2个单位。

Answer 2

（1）先化简得到y=√2sin(2x+Π/4)+2
最小值为2-√2
此时令sin=-1,此时2x+∏/4=（3∏／2）+k可求出x
（2）sin内的代数式在∏／2到3∏／2之间，记得加上k,k的范围是实数
（3）x轴上左移∏／8，Y轴上移2

Answer 3

y=sin2x+1+2cos^2x=sin2x+1+(2cos^2x-1)+1=sin2x+cos2x+2=根号2sin(2x+π/4)+2

1. 当2x+π/4=2kπ-π/2时，y最小值为2-根号2
2. 单调递减 2kπ+π/2<2x+π/4<3π/2+2kπ 解不等式得
单调递增 2kπ+3π/2<2x+π/4<5π/2+2kπ 解不等式得
3. 向x轴负方向移动π/4，再向y轴正方向移动2