Question

线性代数：A为n阶实对称矩阵 （A-E）（A-2E）（A-3E）=O 证明：A为正定矩阵。 （请详细一些，谢谢了。）

Answer 1

实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所以特征值全是正的。
（A-E）（A-2E）（A-3E）=O所以A的特征值满足方程(λ-1)(λ-2)(λ-3)=0，解得λ=1,2,3.
即A的所以特征值全是正的，又A为实对称矩阵故A正定。

追问

你的解法正确,但是要是有λ=-4什么的怎么办？
只能保证A的特征值有1或2或3吧！

追答

是的，不可能有λ=-4，可能的情况是1或2或3可能是多重根。比如A是4阶的，那么1,2,3里面必然有一个是二重的。

追问

额,,这个能证明一下么?
还是有些不太理解.谢谢了.

追答

可以，如图http://hi.baidu.com/fjzntlb/album/item/a055a05334cfb1510df3e395.html

Answer 2

根据凯莱定理，|A-λE|=f(λ),对应把λ换成A有f(A)=0，同时如果假设极小化多项式为g(λ),则g(λ)|f(λ),且g(A)=0.又已知（A-E）（A-2E）（A-3E）=O,由极小化多项式的定义知道必须有g(A)|（A-E）（A-2E）（A-3E）,或者说g(λ)|(λ-1)(λ-2)(λ-3).而因为已知条件告诉我们A为n阶的实对称矩阵，所以所有的特征值都是实数，因此只能为1，或者2，或者3，至于重数是多少我们不在乎，反正就是所有的特征值都是大于0的，因此它正定。
注：极小化多项式还有一个表示就是，g(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)……（λ-λn）其中λi为互不相同的所有特征值。由这里你也可以看出所有互不相同的取值只能在1,2,3中选，所以一定为大于0的，因此正定。

Answer 3

由(A-E)(A-2E)(A-3E)=0得A^3-6A^2+11A-6E=0，A(A^2-6A+11E)=6E，所以A可逆，所以0不是特征值；
假设存在λ<0，使Aα=λα，设f(λ)=λ^3-6λ^2+11λ-6，f'(λ)=3λ^2-12λ+11=3(λ-2)^2-1，当λ<0时，f'(λ)>0，即当λ<0时f(λ)当增，因为f(0)=-6<0，所以当λ<0时f(λ)<0，即不存在λ<0，使f(λ)=λ^3-6λ^2+11λ-6=0，所以A的特征值不为负；
综上，A为正定矩阵。