Question

求高手解个微分方程，xd^2y/dx^2-3dy/dx=x^2, y(1)=0, y(0)=0.万分感谢！

Answer 1

方程两边同时乘以x,令x=e^t,由欧拉方程可以得:D(D-1)y-3Dy=e^3t 即D^2y-4Dy=e^3t (也即d^2y/dt^2-4dy/dt=e^3t)特征方程是r^2-4r=0 则r1=0 r2=4 入=3不是方程的根,所以特解y*=ae^3t代入原方程得y=-1/3e^3t 齐次方程的通解为Y=b+ce^4t 综上所述非齐次方程的通解y=-1/3x^3+cx^4+b由初始条件知道b=0 c=1/3故y=1/3x^4-1/3x^3

Answer 2

这是欧拉方程，只要找到一个特解，第二个特解可以用第一个解个系数算出来，公式和证明你书上有吧！
下面我们找第一特解：考虑y是x的多项式：设y=ax^3+bx^2+cx解出a,b,c即可。然后第二特解套公式