Question

1.设β1=2α1-α2， β2=α1+α2， β3= -α1+3α2，证明β1， β2， β3线性相关。

2.已知向量组α1=(k,2,1), α2=(2,k,0), α3=(1,-1,1), 试求k为何值时，向量组α1, α2, α3线性相关？线性无关？
3.求下列向量组的一个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表示。
α1=(1,0,1,1)T, α2=(0,1,0,-1)T, α3=(0,0,1,-3)T, α4=(2,-1,3,0)T

Answer 1

1. 证: 设 k1β1+k2β2+k3β3=0.
则 k1(2α1-α2)+k2(α1+α2)+k3(-α1+3α2)=0
即 (2k1+k2-k3)α1+(-k1+k2+3k3)α2=0
因为 2k1+k2-k3 =0
-k1+k2+3k3=0
有非零解, 比如 (4,-5,3)
即有 4β1-5β2+3β3=0
所以 β1,β2,β3 线性相关.

证法2: (β1,β2,β3)=(2α1-α2,α1+α2,-α1+3α2)
c1-2c2, c2+c3
--> (-3α2,4α2,-α1+3α2)
c1+(3/4)c2
--> (0,4α2,-α1+3α2)
所以 r(β1,β2,β3)=r(0,4α2,-α1+3α2)<3
所以 β1,β2,β3 线性相关.

Answer 2

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