Question

已知圆M经过直线l:2x+y+4=0于圆C:x^2+y^2+2x-4y+1=0的两个交点,且有最小面积,求圆方程

Answer 1

解方程组：2x++4=0
x^2+y^2+2x-4y+1=0
得两个交点坐标为：(-3,2)、(-11/5,2/5)
为了使经过这两个点的圆面积最小，该圆就以这两个点为直径，圆心就是交点连线的中点。
圆心坐标为：x0=(-3+(-11/5))/2=-13/5,y0=(2+2/5)/2=6/5
直径D^2=(-3-(-11/5))^2+(2-2/5)^2 =80/25=16/5
r^2=D^2/4=4/5
所以圆的方程为(x+13/5)^2+(y-6/5)^2=4/5

Answer 2

x^2+y^2+2x-4y+1=0可表示为(x+1)^2+(y-2)^2=4
由题意知M点为直线在圆内的弦的中点,圆的半径为弦的一半
可以很简单的求出该点坐标为(-13/5,6/5)
由C点到该点的距离为4√5/5可以求得圆M的半径为2√5/5
那么圆M的方程为(X+13/5)^2+(y-6/5)^2=4/5

Answer 3

据题意得
2x++4=0
x^2+y^2+2x-4y+1=0
则可以得到两个交点坐标为：(-3,2)、(-11/5,2/5)
以这两点的连线为直径，则圆心就是改连线的中点
圆心坐标为：x0=(-3+(-11/5))/2=-13/5,y0=(2+2/5)/2=6/5
直径D^2=(-3-(-11/5))^2+(2-2/5)^2 =80/25=16/5
r^2=D^2/4=4/5
所以圆的方程为(x+13/5)^2+(y-6/5)^2=4/5