Question

已知(根号x-3根号x)的n次方的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，

求展开式的所有理科项（指数为整数）

Answer 1

展开式中奇数项系数和就是奇数项的二项式系数和，即2^(n－1)=512，解得n=10。则(√x－³√x)^10的展开式的通项是C(n,10)(√x)^(10－n)(³√x)n，考虑x的指数是5＋(10－n)/3是整数，则n的取值是1、4、7、10，逐一算

Answer 2

解：由已知得C(n，0)＋C(n，2)＋C(n，4)＋……＝2^(n－1)＝512，所以n＝10
T(i＋1)＝C(10，i)*x^[(10－i)/2]*(－1)^i*x^(i/3)＝(－1)^i*C(10，i)*x^[5－i/6]
当i＝0或6时，指数为整数，故整数项为x^5和210x^4.