Question

设A是n阶实对称矩阵,证明A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值都大于0

Answer 1

证: A是n阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵P, P'=P^-1
满足: P'AP = diag(a1,a2,...,an). 其中a1,a2,...,an是A的全部特征值
则A对应的二次型为:
f = X'AX
令 X=PY 得
f = Y'P' APY = Y'diag(a1,a2,...,an)Y = a1y1^2+...+any^n
所以 A正定 <=> f 正定 <=> ai>0.
即 A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值都大于0.

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Answer 2

不好意思啊，我才高中毕业。