Question

证明:实对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件为A的所有主子式全大于零

这道题已经把“顺序”的条件去掉了，怎么解呢？

Answer 1

这么说带顺序的你会证明了，那这个事情好办了。
通过一个行变，我们可以把一个主子式中的一个行（不妨叫n行）和第一行交换，接着再把n列与第一列交换。注意以上都是初等变换，而且是对称的变换，因此不会改变A的惯性指数。
接着再挑一列一行和第二列和第二行交换，。。。。
最后这个主子式就变成了一个顺序主子式了。而且变化后的矩阵和A的惯性指数相同。
命题得证。