Question

高中数学三角恒等变换

若θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=1/3，则cos2θ=__-√17/9__

我算出的答案是±√17/9，求教是如何排除﹢√17/9这个答案的？

Answer 1

上面兄台解法不完美；缺少了sinθcosθ＜0的判断：
等式平方，1+2sinθcosθ=1/9，sinθcosθ=-4/9
因为 θ∈（0，π），所以 sinθ>0，又sinθcosθ＜0,所以 cosθ<0，
又1-2sinθcosθ=(sinθ-cosθ)^2=17/9所以 sinθ-cosθ=√17/3
故cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2=(sinθ+cosθ)(cosθ-sinθ)=1/3*(-√17/3)=-√17/9
OVER了^_^

Answer 2

很简单啊。。sinθ在θ∈（0，π）都大于0吧。。。然后如果cosθ=﹢√17/9的话sinθ+cosθ>1/3了嘛？

Answer 3

解：sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)=1/3
sin(θ+π/4)=√2/6
θ∈（0，π），
所以,θ∈（π/4，5π/4）
由sin(θ+π/4)=√2/6
所以所以θ∈（π/2，3π/4）
这样就可以排除﹢√17/9了

Answer 4

直接平方，1+2sinθcosθ=1/9，sinθcosθ=-4/9
因为 θ∈（0，π），所以 sinθ>0，则 cosθ<0，
由 1-2sinθcosθ=(sinθ-cosθ)^2=17/9得 sinθ-cosθ=√17/3
因此，cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2=(sinθ+cosθ)(cosθ-sinθ)=1/3*(-√17/3)=-√17/9
(求出来的值就没有正的，无须排出）

Answer 5

解：给sinθ+cosθ=1/3的两边同时平方整理，把(sinθ)^2+(cosθ)^2=1代入得：2sinx*cosx=-8/9
所以(sinx-cosx)^2=17/9,由于θ∈（0，π），故sinx>0，所以cosx<0，sinx-cosx>0
所以sinx-cosx=√17/3
所以cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=-(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=-1/3*√17/3=-√17/9

Answer 6

∵ θ∈(0,π)
∴sinθ>0
又两边平方得:
sinθcosθ=-4/9<0
＝> cosθ<0
∴cosθ-sinθ<0
＝>
cos2θ
=cos²θ-sin²θ
=(cosθ＋sinθ)(cosθ-sinθ)
<0
故√17/9被排除