高中数学三角恒等变换
若θ∈(0,π),且sinθ+cosθ=1/3,则cos2θ=__-√17/9__我算出的答案是±√17/9,求教是如何排除﹢√17/9这个答案的?...
若θ∈(0,π),且sinθ+cosθ=1/3,则cos2θ=__-√17/9__
我算出的答案是±√17/9,求教是如何排除﹢√17/9这个答案的? 展开
我算出的答案是±√17/9,求教是如何排除﹢√17/9这个答案的? 展开
2011-06-23
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很简单啊。。sinθ在θ∈(0,π)都大于0吧。。。然后如果cosθ=﹢√17/9的话sinθ+cosθ>1/3了嘛?
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解:sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)=1/3
sin(θ+π/4)=√2/6
θ∈(0,π),
所以,θ∈(π/4,5π/4)
由sin(θ+π/4)=√2/6
所以所以θ∈(π/2,3π/4)
这样就可以排除﹢√17/9了
sin(θ+π/4)=√2/6
θ∈(0,π),
所以,θ∈(π/4,5π/4)
由sin(θ+π/4)=√2/6
所以所以θ∈(π/2,3π/4)
这样就可以排除﹢√17/9了
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2011-06-23 · 知道合伙人教育行家
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直接平方,1+2sinθcosθ=1/9,sinθcosθ=-4/9
因为 θ∈(0,π),所以 sinθ>0,则 cosθ<0,
由 1-2sinθcosθ=(sinθ-cosθ)^2=17/9得 sinθ-cosθ=√17/3
因此,cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2=(sinθ+cosθ)(cosθ-sinθ)=1/3*(-√17/3)=-√17/9
(求出来的值就没有正的,无须排出)
因为 θ∈(0,π),所以 sinθ>0,则 cosθ<0,
由 1-2sinθcosθ=(sinθ-cosθ)^2=17/9得 sinθ-cosθ=√17/3
因此,cos2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2=(sinθ+cosθ)(cosθ-sinθ)=1/3*(-√17/3)=-√17/9
(求出来的值就没有正的,无须排出)
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解:给sinθ+cosθ=1/3的两边同时平方整理,把(sinθ)^2+(cosθ)^2=1代入得:2sinx*cosx=-8/9
所以(sinx-cosx)^2=17/9,由于θ∈(0,π),故sinx>0,所以cosx<0,sinx-cosx>0
所以sinx-cosx=√17/3
所以cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=-(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=-1/3*√17/3=-√17/9
所以(sinx-cosx)^2=17/9,由于θ∈(0,π),故sinx>0,所以cosx<0,sinx-cosx>0
所以sinx-cosx=√17/3
所以cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2=-(sinθ+cosθ)(sinθ-cosθ)=-1/3*√17/3=-√17/9
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∵ θ∈(0,π)
∴sinθ>0
又两边平方得:
sinθcosθ=-4/9<0
=> cosθ<0
∴cosθ-sinθ<0
=>
cos2θ
=cos²θ-sin²θ
=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)
<0
故√17/9被排除
∴sinθ>0
又两边平方得:
sinθcosθ=-4/9<0
=> cosθ<0
∴cosθ-sinθ<0
=>
cos2θ
=cos²θ-sin²θ
=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)
<0
故√17/9被排除
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