Question

(∞∑n=0)[（2n+1)/n!]*x^2n，的收敛域及其在收敛域内的和函数

需要有详细的解题过程

Answer 1

解 收敛域为R。记
f(x)=∑(n=0到∞)[(2n+1)/n!]*x^2n，x在R中,
则积分
S(0到x)f(t)dt=∑(n=0到∞)S(0到x){[(2n+1)/n!]*t^2n}dt
=∑(n=0到∞)[(x^2n)/n!]
=e^(x^2)，x在R中
于是，和函数
f(x)=[e^(x^2)]'=2x*e^(x^2)，x在R中。

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Answer 2

a[n+1]/a[n] = x^2 (2n+3)/(2n+1) (n+1)
不管x为何值,上式的极限为0.
故收敛域为R.

设此级数为f(x),有F(x)=∑x^(2n+1)/n!=x∑x^2n/n!=xExp[x^2]
f(x)=F'(x)=(x+2x^2)Exp[x]

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