HELP!!求∑(∞,n=1)2nx^2n-1的收敛域与和函数
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收敛域:lim 2nx^(2n-1)/[2(n-1)x^(2n-3)]=x^2<1。-1<x<1 。再单独考虑x=1或-1的情况,发现此时都不收敛。
和函数:因为x^2n的导数是2nx^(2n-1)。所以只需要求∑(∞,n=1)x^2n的和,再求导就可以了。上式的和为x^2/(1-x^2) 。
基于常值级数收敛性判定的比较审敛法,容易得到如下结论:
(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛,则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛。
(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散,则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散。
如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点,又有发散点,则必存在唯一的正数R(0<R<+∞),使得当x<|R|时,该幂级数绝对收敛;当x>|R|时,该幂级数发散。
并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径,而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间。通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性,容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域。
规定:当幂级数(1)只在x=0处收敛时,规定其收敛半径R=0;当它在整个数轴上都收敛时,规定其收敛半径R=+∞。
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收敛域:
主要是看前后两项的比值,小于1即可
即lim 2nx^(2n-1)/[2(n-1)x^(2n-3)]=x^2<1
-1<x<1
再单独考虑x=1或-1的情况,发现此时都不收敛
所以收敛域为(-1,1)
和函数:
因为x^2n的导数是2nx^(2n-1)
所以只需要求∑(∞,n=1)x^2n的和,再求导就可以了
上式的和为x^2/(1-x^2) 【就是等比数列求和的公式,再取极限,公比小于1】
求导之后,结果为:
2x/[(1-x^2)^2]
主要是看前后两项的比值,小于1即可
即lim 2nx^(2n-1)/[2(n-1)x^(2n-3)]=x^2<1
-1<x<1
再单独考虑x=1或-1的情况,发现此时都不收敛
所以收敛域为(-1,1)
和函数:
因为x^2n的导数是2nx^(2n-1)
所以只需要求∑(∞,n=1)x^2n的和,再求导就可以了
上式的和为x^2/(1-x^2) 【就是等比数列求和的公式,再取极限,公比小于1】
求导之后,结果为:
2x/[(1-x^2)^2]
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