求Σ(∞,n＝1) (x^2n+1)/2n+1收敛域及和函数
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解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)(2n+1)/(2n+3)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=x²/R<1，∴其收敛区间为，丨x丨<1。
而，当x=±1时，级数∑1/(2n+1)、-∑1/(2n+1)均发散，∴其收敛域为，丨x丨<1。
设S(x)=∑x^(2n+1)/(2n+1)。两边对x求导、在其收敛区间内，有S'(x)=∑x^(2n)=x²/(1-x²)=1/(1-x²)-1。
∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=∫(0,x)[1/(1-x²)-1]dx=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]-x。其中，丨x丨<1。
供参考。
又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=x²/R<1，∴其收敛区间为，丨x丨<1。
而，当x=±1时，级数∑1/(2n+1)、-∑1/(2n+1)均发散，∴其收敛域为，丨x丨<1。
设S(x)=∑x^(2n+1)/(2n+1)。两边对x求导、在其收敛区间内，有S'(x)=∑x^(2n)=x²/(1-x²)=1/(1-x²)-1。
∴S(x)=∫(0,x)S'(x)dx=∫(0,x)[1/(1-x²)-1]dx=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]-x。其中，丨x丨<1。
供参考。
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