Question

线性代数问题求助（要解题过程）

如图，点击放大，可根据特征值和特征向量，非零矩阵的性质进行求解

Answer 1

解: 根据题意,A是3阶方阵.
因为α1,α2为AX=0的基础解系
故0至少是A的二重特征值.

由AB=2B得 (A-2E)B=0,
所以B的列向量都是(A-2E)X=0的解.
因为B非零, 所以(A-2E)X=0有非零解.
所以 |A-2E|=0.
故2是A的特征值.

综上有A的特征值为: 0,0,2

(1)因为A的特征值为: 0,0,2
所以A+E的特征值为: 0+1=1,0+1=1,2+1=3
所以 |A+E|=1*1*3 = 3
(2)同理,A-2E的特征值为 0-2=-2,0-2=-2,2-2=0
所以 r(A-2E)=2.
(3) 2A+3E 的特征值为 2*0+3=3,2*0+3=3,2*2+3=7

Answer 2

因为B是非零矩阵，故B的逆存在，故A=2E，所以A比为三阶矩阵，第一问等于27，第二问等于0，第三问特征值为1

Answer 3

由已知条件，A是三阶矩阵，且A的三个特征值是0,0,2
所以存在可逆矩阵P，使P逆AP=0,0,2组成的对角阵
(1)所以|A+E|=|P逆||A+E||P|=|P逆AP+E|=3
(2)同理r(A-2E)=r(P逆(A-2E)P)=r(P逆AP-2E)=2
(3)(2A+3E)α1=3α1，(2A+3E)α2=3α2，所以3为其中二个特征值
(2A+3E)B=2AB+3B=7B，所以7为其另一特征值
所以2A+3B的特征值是3、3、7