Question

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）作圆：x^2+y^2=a^2/4的切线，切点为E，延长FE

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）作圆：x^2+y^2=a^2/4的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，
若向量OE=1/2（向量OF+向量OP），则求双曲线的离心率

Answer 1

由题目可画出下方简略图:   (圆的半径为 a/2)

∵E为切点

∴OE⊥FP

又∵ 向量OE=1/2（向量OF+向量OP）

∴OF∥PO'   PO∥O'F

∴四边形OFO'P为平行四边形   

  上证 OE⊥FP

∴平行四边形  OFO'P为 菱形

∴∠EFO=30°  

而EO（圆的半径）=a ， OF=c   

∴sin∠EFO=a/c=1/2

  双曲线离心率e=c/a=2