Question

关于高中数学集合的问题

已知集合A={X/ -1≤x≤0}，集合B={ax+b*2^x—1≤0,0≤a≤2,1≤b≤3}。
（1）若a,b∈N，求A∩B≠空集的概率
（2）若a,b∈R，求A∩B=空集的概率

Answer 1

（1）由于a,b∈N，作出图可知：
函数y=1-ax 恒过点（0,1） 函数y=b(2^x)则有可能过（0，1）、（0，2）、（0,3）
当b=1时：
两函数始终交于（0,1），满足b(2^x)≤1-ax的解集为{X/ x≤0}，交集为{X/ -1≤x≤0}，恒不为空集，故b=1时恒成立的。（b=1时，a=0,1,2都成立）
当b=2时,y=2(2^x)：
由图可看出：
当交点横坐标最小时若满足条件成立，则交点横坐标更大时就更能成立了（后面也这样讨论）。因此首先讨论使交点横坐标最小的时候。此时：
a=0,则y=1
将x=-1代入得到：1≤1，使得交集不为空集，成立，所以a=1,2时就不用讨论了，是肯定成立的。（b=2时，a=0,1,2都成立）
当b=3时：
a=0时，将x=-1代入，得到：3/2≤1，使得交集为空集，不成立。
a=1时，将x=-1代入，得到：3/2≤2，可知在（-1,0）之间一定存在某个点（m,n），使得：
2(2^m)=n=1-m, 因此交集不为空集，成立，则a=2时也是必定成立的。（b=3时，a=1,2成立）
综上可得：9种情况中有8种成立，故概率=8/9
（2）
结合（1）中结论讨论零界值可得：
当b在【1,2】中时，对【0，2】中的任意a均成立，都不为空集。概率=(1/2)x1=1/2
当b在【2,3】中时，对【1/2,2】中的任意a均成立，都不为空集。概率=(1/2)x[(2-1/2)/2]=3/8
因此不为空集的概率=1-(1/2+3/8)=1/8

Answer 2

你好！不知道你现在上几年级，我会用到高二的一些方法。第一问：A∩B≠空集，由于0≤a≤2,1≤b≤3，可以轻易看出ax+b*2^x—1是增函数，你可以画图像看一看，这也就意味着B集合的解集的右端点应该在-1的右边，即当x=1是ax+b*2^x—1小于零的，那么就可以得到a+b/2-1≤0,利用线性规划可得概率为2/9。第二问：A∩B=空集，这就说明B集合的解集的右端点应该在-1的左边即当x=1是ax+b*2^x—1大于零（不是≥！≥意味着在-1处可有交集），接着得到a+b/2-1＞0，同样利用线性规划，不过这次概率要用面积计算，为1/16.希望我的回答对你有帮助。