Question

已知定义在(0,+∞)的可导函数f(x)满足xf'(x)-f(x)>0且f(x)>0

（1）设F(x)=f(x)/x,证明：F(x)是（0，正无穷）上为增函数
（2）若a>b>0,比较af(a)与bf(b)的大小

Answer 1

(1)F(x)=f(x)/x
F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2
因为xf'(x)-f(x)>0,所以
F'(x)>0
从而
F(x)是（0，正无穷）上为增函数
(2)令g(x)=xf(x)
g'(x)=f(x)+xf'(x)>2f(x)>0(因为xf'(x)-f(x)>0,f(x)>0)
所以g(x)=xf(x)是（0，正无穷）上为增函数,从而
a>b>0,af(a)>bf(b)

Answer 2

1.
x属于（0，正无穷），且F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²>0 所以F(x)是（0，正无穷）上为增函数
2、
F(a)-F(b)>0
f(a)/a-f(b)/b>0
bf(a)-af(b)>0
af(a)>bf(a)>af(b)>bf(b)
af(a)>bf(b)