数列放缩法证明求解 关键是左边

已知数列Bn=[(2的2n-1次方)-1]/[(2的2n1次方)-1](n属于正整数),Tn是数列{Bn}的前n项和,证明:(n/4-1/7)<Tn<n/4(n属于正整数... 已知数列Bn=[(2的2n-1次方)-1]/[(2的2n 1次方)-1](n属于正整数),Tn是数列{Bn}的前n项和,证明:(n/4-1/7)<Tn<n/4(n属于正整数)
Bn=[(2的2n-1次方)-1]/[(2的2n+1次方)-1]
已修改
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lqbin198
2011-06-25 · TA获得超过5.6万个赞
知道大有可为答主
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Bn=[2^(2n-1)-1]/[2^(2n+1)-1]
=(1/4)[2^(2n+1)-4]/[2^(2n+1)-1]
=1/4-(3/4)/[2^(2n+1)-1]
=1/4-(3/4)/[2*4^n-1]
=1/4-(3/7)/[(8*4^n)/7-4/7]
>1/4-(3/7)/4^n
所以Tn>∑(1/4)-∑(3/7)/[4^n]
=n/4-(3/7)*(1/4)*(1-1/4^n)/(1-1/4)
>n/4-(3/7)*(1/3)*1
=n/4-1/7
当a>b,a,b为正数时
a+ab>b+ab
则(a+1)/(b+1)>a/b
下面以此放缩
Bn=[2^(2n-1)-1]/[2^(2n+1)-1]
<2^(2n-1)/2^(2n+1)
=1/4
Tn<∑(1/4)=n/4
得证
鸣人真的爱雏田
2011-06-25 · TA获得超过1.9万个赞
知道大有可为答主
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解:
Bn=[2^(2n-1)-1]/[2^(2n +1)-1],对该式进行放缩,
1/4-(6/7)/2^(2n +1)≤ [2^(2n-1)-1]/[2^(2n +1)-1]<1/4,
先证明:
1/4-(6/7)/2^(2n +1)≤[2^(2n-1)-1]/[2^(2n +1)-1],
交叉相乘并整理得 2^(2n-1)≥2,该式恒成立,且n=1时,等式成立
所以原式左边得证,
再来证明:
[2^(2n-1)-1]/[2^(2n +1)-1]≤ 1/4,
整理得 -4<-1,该式恒成立,
所以原式成立。
利用等比数列前n项和
Tn≥n/4-(6/7)[1/2^3-(1/4)^n]/(1-1/4)>n/4-1/7,
Tn<n/4,
原式得证。
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imwael
2011-06-25 · TA获得超过1942个赞
知道小有建树答主
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Bn=[2^(2n-1)-1]/[2^(2n+1)-1]
=1/4*[2^(2n+1)-1-3]/[2^(2n+1)-1]
=1/4-3/4*1/[2^(2n+1)-1]
=1/4-3/4*Cn
其中Cn=1/[2^(2n+1)-1],
C1=1/[2^(2+1)-1]=1/7
易证C(n+1)<1/4Cn
设Cn的前n项和Sn,
Sn=C1+C2+...+Cn
<C1+C1*1/4+C1*1/4^2+...+C1*1/4^(n-1)
=C1[1+1/4+1/4^2+...+1/4^(n-1)]
=C1*(1-1/4^n)/(1-1/4)<4/3*C1
Tn=B1+B2+...+Bn
=(1/4-3/4C1)+(1/4-3/4C2)+...+(1/4-3/4Cn)
=n/4-3/4Sn
>n/4-3/4*4/3*C1
=n/4-1/7
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505875841a
2011-06-25
知道答主
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题目是不是有点错误?
左边将分子乘4+3-3在除4,下面不变然后得到bn=1/4-3/(2的2n加3次方-4)
然后 因为3n/(2的2n加3次方-4)小于1/7(移项,n为整数可得)所以左边成立
其中先把Tn用Bn标示在成n(应为bn小于一个定值所以可以)
右边的话就不用+3-3了,就出来了

注意一下改了个数字,开始算错了
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apple果果多
2011-06-25 · TA获得超过136个赞
知道答主
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Bn=[(2的2n-1次方)-1]/[(2的2n 1次方)-1 这个条件打错了吧
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