Question

1 求方程（1+y^2）dx=(arctany - x)dy的通解 2求方程（x-2xy- y^2）y’+ =0的通解

第二题不完整 补充下 求方程（x-2xy-y^2）y'+y^2=0的通解

Answer 1

1.dx/dy=(arctany-x)/(1+y2)
x=arctany-(dx/dy)(1+y2) ------------ ①
两边同时求导数x'=1/(1+y2)-x''(1+y2)-2yx'
令x'=p,x''=p',并化简得
p'+(2y+1)p/(1+y2)=1/(1+y2)2,用一阶微分方程一般解法，两边同乘以(1+y2)e...
②式代入①式得:
x=arctany-(dx/dy)(1+y2)=arctany-{[1+Ce^(-arctany)]/(1+y2)}(1+y2)=arctany-Ce^(-arctany)-1
故原式通解为x=arctany-Ce^(-arctany)-1
经讨论，第二题一定打错了！请追问，本人会迅速帮你解答

Answer 2

1.dx/dy=(arctany-x)/(1+y²)
x=arctany-(dx/dy)(1+y²) ------------ ①
两边同时求导数x'=1/(1+y²)-x''(1+y²)-2yx'
令x'=p,x''=p',并化简得
p'+(2y+1)p/(1+y²)=1/(1+y²)²,用一阶微分方程一般解法，两边同乘以(1+y²)e^(arctany):
(1+y²)e^(arctany)p'+(2y+1)e^(arctany)p=e^(arctany)/(1+y²)
[(1+y²)e^(arctany)p]'=e^(arctany)/(1+y²)
(1+y²)e^(arctany)p=e^(arctany)+C
dx/dy=[1+Ce^(-arctany)]/(1+y²) ------------ ②
②式代入①式得:
x=arctany-(dx/dy)(1+y²)=arctany-{[1+Ce^(-arctany)]/(1+y²)}(1+y²)=arctany-Ce^(-arctany)-1
故原式通解为x=arctany-Ce^(-arctany)-1

第二题怀疑你题目抄错了，好难算啊 ...

Answer 3

第一题上面已有朋友回答
第二题可以先化简得：y'＝y^2\（－x+2xy+y^2），也可记为dy\dx=y^2\（－x+2xy+y^2），
则dx\dy=（－x+2xy+y^2）\y^2，化简得：dx\dy+（1\y^2－2\y）x＝1
这个方程可作关于X关于y函数（x是y的函数），关于x的一阶线性非齐次微分方程，可利用公式（在课本上给y是x的函数的公式为y=e^-∫P(x)dx(∫Q(x)e^∫P(x)dx+C）），可常数学变易法。
公式法解答：P（y）=1\y^2－2\y，Q(y)=1，由一阶线性非齐次微分方程的求解公式得
x=e^-∫P(y)dx(∫Q(y)e^∫P(y)dy+C））
=e^-∫（1\y^2－2\y）dy(∫e^∫（1\y^2－2\y）dy+C)=y^2e^-y^(-1)「-e^-y^(-1)+C」

Answer 4

第一题把dy/dx=1+y^2/(arctany - x) y=1+y^2/(arctany - x) 求积分
第2题不完整啊