Question

limx→∞(2x+3/2x+1)^x+1,求极限，大家帮帮忙越详细的步骤越好！谢谢啦

Answer 1

1. 如果x趋于无穷，limx→∞(2x+3/2x+1)^x+1,无极限！
这是因为，x→∞ 时，(2x+3/2x+1)^x+1,变成 ∞^∞型，无极限是显然的。
2. 如果改成x趋于0，那么 limx→0 (2x+3/2x+1)^x+1＝2.
算法是：令 f = (2x+3/2x+1)^x, 取自然对数，利用罗比大法则，
lim x→0 lnf＝lim x→0 x* ln(2x+3/2x+1) ＝ 0
从而 ln f ＝ 0 f ＝ 1
于是 limx→0 (2x+3/2x+1)^x+1＝f+1＝2
3. 验算：（1）取 x＝0.01 可算出：(2x+3/2x+1)^x+1≈2.05145
取 x ＝ 0.0001 可算出：(2x+3/2x+1)^x+1≈2.00096，
可见x越小，其值越接近2！
（2）取x＝100 可算出：(2x+3/2x+1)^x+1≈2.1030^(230)
取x＝10000，可算出：(2x+3/2x+1)^x+1≈3.289^(43010)
可以看出：limx→∞ (2x+3/2x+1)^x+1 根本就没有极限！！！

Answer 2

limx→∞(2x+3/2x+1)^(x+1),=limx→∞((2x+3/2x+1)^x*(2x+3)/2x+1)
=limx→∞((2x+3/2x+1)^x*limx→∞(2x+3/2x+1)
={limx→∞((1+3/2x)^x}/{limx→∞(1+1/2x)^x}*limx→∞(2+3/x)/2+1/x)
={limx→∞((1+3/2x)^(2x/3)}^(3/2)/{limx→∞(1+1/2x)^2x}^(1/2)*2/2
=e^3/2/e^1/2=e

Answer 3

limx→∞(2x+3/2x+1)^x+1
=limx→∞(1+2/2x+1)^(2x+1/2)-1/2
=limx→∞(1+2/2x+1)^(2x+1/2)+limx→∞(1+2/2x+1)^(-1/2)
=e+1