Question

高一数学题，关于向量的

已知向量a=(sinα,cosα),向量b=(cosβ,sinβ),向量b+向量c=(2cosβ,0)向量a*向量b=1/2，向量a*向量c=1/3，求sin（α+β）+tanα/tanβ的值

Answer 1

向量c=(cosβ,-sinβ)
向量a*向量b=sinα*cosβ+cosα*sinβ=sin(α+β)=1/2
向量a*向量c=sin(α-β)=1/3
sinα*cosβ=5/12
cosα*sinβ=1/12
tanα/tanβ=(sinα*cosβ)/(cosα*sinβ)=5
所以sin（α+β）+tanα/tanβ=1/2+5=11/2

追问

请问sinα*cosβ=5/12、cosα*sinβ=1/12是怎么来的？只算出sin(α+β)=1/2，c=sin(α-β)=1/3的情况下怎么得到前面的两个数值

追答

sin(α+β)=sinα*cosβ+cosα*sinβ=1/2
sin(α-β)=sinα*cosβ-cosα*sinβ=1/3
两式相加，2sinα*cosβ=5/6
两式相减，2cosα*sinβ=1/6

Answer 2

a=(sinα,cosα),向量b=(cosβ,sinβ),向量c=(cosβ,-sinβ)
sinαcosβ+sinβcosα=sin(α+β)=1/2
sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=1/3
sinαcosβ=5/12 sinβcosα=1/12
tanα/tanβ=(sinαcosβ)/(sinβcosα)=5
所以sin（α+β）+tanα/tanβ=1/2+5=11/2

追问

请问sinα*cosβ=5/12、cosα*sinβ=1/12是怎么来的？只算出sin(α+β)=1/2，c=sin(α-β)=1/3的情况下怎么得到前面的两个数值

Answer 3

c=(2cosβ,0)-(cosβ,sinβ)=(cosβ,-sinβ)
ab=sinαcosβ+sinβcosα=sin（α+β）=1/2 (1)
ac=sinαcosβ-sinβcosα=1/3 (2)
(1)*2-(2)*3得-sinαcosβ+5sinβcosα=0
化简得tanα/tanβ=5
故sin（α+β）+tanα/tanβ=1/2+5=11/2